莫队算法入门:小Z的袜子

先说一句:这是我的第一个算法,太菜勿喷,可在评论区答疑.

Description

作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

Output

包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
「样例解释」
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
「数据规模和约定」
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。


题解

这题用到了莫队最基本的一个性质: 假如我们已知[l,r]的答案,就能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案(敲黑板)所以,就可以用莫队来做,怎么来做莫队呢?其实这题可以用分块来支持,可以把袜子进行分组,然后用两个指针的跳跃进行加或减的操作来对区间进行要求的操作。那么也就是说对每个块进行操作就是对要求的区间进行操作。

step:对袜子进行分块,然后莫队求区间的概率,再约分。

那么问题来了:这个指针会跳几次?我们知道如果指针的次数不可控制,那么最坏额时间就是跳N次,那么时间复杂度会是o(n^2),还不如打个暴力来的方便,但是仔细看就会发现,其实这里可以用一个巧妙的分类讨论来算次数(时间复杂度):

首先:有m次询问,那么就有O(n)——n,m同级

再者可以发现分块的巧妙:

①:l与l’相隔一块(有点口胡),r总共不会跳超过两个块,就是最坏跳两个块,总共时间复杂度是O(n*块数)

②l与l’在同一块内,由于此时r是单调递增的,所以r最多跳n次,所以时间复杂度是O(n*n/块数)。

因为最多分成根号n块,所以,n/块数=跨数,所以最坏时间复杂度是O(n*sqrt(n))=O(N^1.5)。

Code:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=50003;
struct Mo{
    int l,r,id;
    ll A,B;
}q[N];
ll Sqr(ll x){
    return x*x;
}
ll GCD(ll a,ll b){
    while(b^=a^=b^=a%=b);
    return a;
}
int n,m,col[N],unit,bl[N];
ll sum[N],ans;
bool cmp(Mo a,Mo b){
    return bl[a.l]==bl[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;
}
bool CMP(Mo a,Mo b){
    return a.id<b.id;
};
void solve(int x,int add){
    ans-=Sqr(sum[col[x]]);
    sum[col[x]]+=add;
    ans+=Sqr(sum[col[x]]);
}
//计算当前块的颜色的概率 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    unit=sqrt(n);
    //块的大小 
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&col[i]),bl[i]=i/unit+1;
    //分块 bl数组表示该袜子在那一组的块中。 
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    //询问的序号 
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
    //按以头问第一关键字,尾为第二关键字排序(对块排序) 
    int l=1,r=0;
    for (int i = 1; i <= m; i++){
        while(l<q[i].l) solve(l,-1),l++;
        while(l>q[i].l) solve(l-1,1),l--;
        while(r<q[i].r) solve(r+1,1),r++;
        while(r>q[i].r) solve(r,-1),r--;
        //莫队核心跳跃的指针 
        if(q[i].l==q[i].r) {
            q[i].A=0;
            q[i].B=1;
            continue;
        }
        //如果区间只有一个数,那么概率就是0(一只袜子怎么穿(*_*)) 
        q[i].A=ans-(q[i].r-q[i].l+1);
        q[i].B=1LL*(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
        ll gcd=GCD(q[i].A,q[i].B);
        q[i].A/=gcd;
        q[i].B/=gcd;
        //最简分数处理 
    }
    sort(q+1,q+m+1,CMP);
    //重新对询问的顺序还原 
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        printf("%lld/%lld\n",q[i].A,q[i].B);
    return 0;
}

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